这首诗描绘了作者在甲子元日清晨对京城景象的观察与感慨。首联“长空耿耿断鸿声，晓日春风满帝城”以“长空”、“断鸿声”、“晓日”、“春风”等意象，勾勒出一幅清冷而生机勃勃的早春图景，晨曦初照，春风拂面，京城沉浸在新的一年的希望之中。

颔联“沙漠浮云千树敛，蓟门积雪万家明”则通过对比手法，将京城的繁华与远方的辽阔景象相映衬。沙漠中的浮云被收拢，蓟门的积雪照亮万家灯火，既展现了自然界的壮丽景色，也隐喻了作者对远方的思念和对家乡的深情。

颈联“他乡客舍南归梦，故国亲庭北望情”直接抒发了作者身处异乡的思乡之情。南归的梦境与北望故乡的情怀形成鲜明对比，表达了作者对家乡亲人深切的思念。

尾联“自笑谁如班定远，佣书犹得就功名”则是作者自我反思与激励的表达。以汉代名将班超自比，虽身在异乡，却仍怀有建功立业的雄心，即使只是从事抄写文书的工作，也不放弃追求功名的机会。这一联既体现了作者的志向高远，又蕴含着对现实处境的无奈与自我调侃。

整体而言，这首诗通过细腻的景物描写和深沉的情感抒发，展现了作者在新年之际对家乡的思念、对未来的期许以及对个人命运的深刻思考。